Résoudre une équation...façon prépa.
Commençons par deux exemples simples d'équations mal rédigées.
Résoudre l'équation 2x + 4 = 8 d'inconnue réelle x.
2x + 4 = 8 ⇔ x = 2
x n'est pas quantifié.
Il n'y a pas de conclusion.
Résoudre l'équation 4x = x d'inconnue réelle x.
4x = x ⇔ 4 = 1 donc impossible
x n'est pas quantifié.
Il est interdit de diviser par 0, pourquoi x ne serait pas nul ?
"donc impossible" ne veut rien dire.
De toute façon il y a une solution, 0.
Pas de conclusion non plus.
Une résolution d'équation se fait en 3 étapes.
Dans un premier temps, on introduit la variable.
Ainsi si il est demandé de résoudre une équation (E) d'inconnue x ∈ A, on commencera par "Soit x ∈ A".
De la même façon, par exemple, pour résoudre (E') d'inconnue z complexe, on commencera par "Soit z ∈ C".
Dans un second temps, on procède par équivalence.
Il faut parfois discuter selon les valeurs de x, mais au final on doit traiter tous les cas possibles.
On suppose que x est strictement positif, alors ...⇔...⇔...⇔...
On suppose que x est strictement négatif, alors ...⇔...⇔...⇔...
On remarque que 0 n'est pas solution.
Finalement dans un troisième temps on regroupe les cadres de travail, c'est-à-dire qu'on vérifie que les solutions trouvées appartiennent bien à l'ensemble sur lequel on résout l'équation (souvent R auquel cas il n'y a pas de soucis) et on conclue.
Rien de tel que des exemples pour illustrer ça.
Résoudre l'équation 2x + 4 = 8 d'inconnue réelle x.
Soit x ∈ R
2x + 4 = 8 ⇔ x = 2 (⇔ x ∈ {2} )
L'ensemble S des solutions de l'équation de départ est S={2}.
Résoudre l'équation x² = 4 d'inconnue réelle x.
Soit x ∈ R
x² = 4 ⇔ x² − 4 = 0 ⇔ (x+2) (x−2) = 0 ⇔ x = −2 ou x = 2 (⇔ x ∈ {−2 ; 2} )
L'ensemble S des solutions de l'équation de départ est S={−2 ; 2}.
Résoudre l'équation 2x² = 3 − 5x d'inconnue réelle x.
Soit x ∈ R
2x² = 3 − 5x ⇔ 2x² + 5x - 3 = 0
On appelle Δ le discriminant de cette équation du second degré.
Δ = 5² + 24 = 49 = 7²
L'équation admet donc deux racines distincites qui sont −3 et 1/2.
L'ensemble S des solutions de l'équation de départ est S={−3 ; 1/2}
Résoudre l'équation x|x| = 5x d'inconnue réelle x.
Soit x ∈ R
0 est clairement solution de l'équation.
On suppose que x ∈ R+. (On peut donc diviser par x et dire que |x| = x)
x|x| = 5x ⇔ |x| = 5 ⇔ x = 5
On suppose que x ∈ R−. (On peut donc diviser par x et dire que |x| = −x)
x|x| = 5x ⇔ |x| = 5 ⇔ −x = 5 ⇔ x = −5
L'ensemble S des solutions de l'équation de départ est S={-5 ; 0 ; 5}
Les résolutions n'ont bien sûr pas besoin, en prépa, d'être aussi détaillées tant qu'elles restent aussi triviales que celles-ci.
Il n'est même plus nécessaire d'introduire le discriminant pour résoudre des équations du second degré.